Αριθμητική Ανάλυση

Απαιτούμενες Γνώσεις

Συνιστάται στους φοιτητές να έχουν τις βασικές γνώσεις Ανάλυσης και Γραμμικής Άλγεβρας

Κεφάλαια Μαθήματος

#	Τίτλος	Διδακτέα Ύλη	Ώρες
1	Αριθμητική Επίλυση Γραμμικών Συστημάτων	Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης και αποκοπής. Άμεσοι μέθοδοι για την επίλυση Γραμμικών Συστημάτων. Μέθοδος απαλοιφής Gauss, Υπολογισμός ορίζουσας και αντίστροφου πίνακα. Μέθοδοι παραγοντοποίησης, Doolittle, Crout, Cholesky. Νόρμες διανυσμάτων και πινάκων. Ευστάθεια γραμμικών συστημάτων. Γενική επαναληπτική μέθοδος για την επίλυση Γραμμικών Συστημάτων. Μέθοδοι Jacobi, Gauss-Seidel και Χαλάρωσης SOR.	5Χ4 =20
2	Αριθμητική Επίλυση μη Γραμμικών Εξισώσεων και Συστημάτων	Εντοπισμός ριζών, Μέθοδος της διχοτόμησης, μέθοδος Regula-Falsi, Γενική επαναληπτική μέθοδος, Μέθοδος Newton-Raphson, Μέθοδος της τέμνουσας, Μέθοδος Newton-Raphson για μη γραμμικά συστήματα.	2Χ4=8
3	Παρεμβολή	Πολυωνυμική Παρεμβολή και σφάλμα παρεμβολής, Παρεμβολή σε μορφή Lagrange και σε μορφή Newton. Σφάλμα παρεμβολής.	2Χ4=8
4	Αριθμητική Ολοκλήρωση	Μέθοδοι Νewton-Cotes: Απλοί και σύνθετοι κανόνες τραπεζίου, Simpson και 3/8. Κανόνες Gauss. Υπολογισμός εμβαδών και όγκων.	1.5Χ4=6
5	Θεωρία Προσέγγισης	Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων. Πολυωνυμική και εκθετική προσέγγιση.	1x4=4
6	Αριθμητική Επίλυση Διαφορικών Εξισώσεων	Μέθοδοι Euler, Taylor και Runge-Kutta για προβλήματα Διαφορικών Εξισώσεων αρχικών τιμών. Μέθοδοι πολλαπλών σημείων, μέθοδοι Adams, Predictor-Corrector. Αριθμητική επίλυση συστημάτων Διαφορικών Εξισώσεων.	1.5Χ4=6

Μαθησιακοί Στόχοι

Το βασικό εισαγωγικό μάθημα της Αριθμητικής Ανάλυσης δίνει έμφαση σε μεθόδους χρήσιμες για τον πολιτικό μηχανικό: την επίλυση Γραμμικών συστημάτων, Μη Γραμμικών εξισώσεων, Διαφορικών εξισώσεων, την παρεμβολή και την προσέγγιση δεδομένων και τον προσεγγιστικό υπολογισμό εμβαδών και όγκων με χρήση αριθμητικών μεθόδων ολοκλήρωσης. Στόχος του μαθήματος αποτελεί η κατανόηση από τους σπουδαστές της σημασίας των αριθμητικών μεθόδων για την επίλυση προβλημάτων της επιστήμης και της τεχνολογίας για τα οποία είτε δεν υπάρχει αναλυτική λύση, είτε αυτή είναι πολύ δύσκολο να υπολογιστεί. Δευτερεύων στόχος είναι η εξοικείωση των φοιτητών α) με την κατασκευή επαναληπτικών μεθόδων για την προσέγγιση των αριθμητικών λύσεων των προβλημάτων και β) με τη έννοια της σύγκλισης των επαναληπτικών μεθόδων.

Με την επιτυχή ολοκλήρωση του μαθήματος οι φοιτητές θα είναι σε θέση να:

1. Κατανοούν τις βασικές μεθόδους της Αριθμητικής Ανάλυσης α) για την επίλυση Γραμμικών συστημάτων, Μη Γραμμικών εξισώσεων και Διαφορικών εξισώσεων β) για την παρεμβολή και την προσέγγιση δεδομένων και δ) για τον προσεγγιστικό υπολογισμό ολοκληρωμάτων.
2. Γνωρίζουν τα εργαλεία και τις τεχνικές των επαναληπτικών μεθόδων και να χρησιμοποιούν αποτελεσματικά τα κατάλληλα κριτήρια διακοπής τους.
3. Γνωρίζουν τη σημασία της χρήσης ευσταθών αλγορίθμων για τη διασφάλιση της αξιοπιστίας των αποτελεσμάτων που εξάγουν οι διδαχθείσες αριθμητικές μέθοδοι.
4. Διακρίνουν τις διαφορές μεταξύ των μεθόδων και να επιλέγουν την καταλληλότερη για την επίλυση του εκάστοτε προβλήματος.
5. Αναλύουν α) τις ασυμπτωτικές ιδιότητες και τη συμπεριφορά των προσεγγιστικών μοντέλων β) την αριθμητική ευστάθεια των αριθμητικών λύσεων και γ) τις αλγοριθμικές και υπολογιστικές ιδιότητες που αντιστοιχούν στις αριθμητικές μεθόδους επίλυσης.
6. Κατανοούν την επίδραση των σφαλμάτων πεπερασμένης αριθμητικής του υπολογιστή και των σφαλμάτων των μεθόδων και υπολογίζουν φράγματα των σφαλμάτων των προσεγγιστικών λύσεων. vii. Συνεργάζονται με άλλους για την επίλυση σύνθετων πρακτικών προβλημάτων με χρήση των μεθόδων της Αριθμητικής Ανάλυσης.

Μέθοδοι και Μέσα Διδασκαλίας και Μάθησης

Μέθοδοι Διδασκαλίας	Διαλέξεις που περιέχουν Θεωρία καθώς και θεωρητικά και υπολογιστικά παραδείγματα και ασκήσεις που εστιάζουν σε προβλήματα αριθμητικής Ανάλυσης χρήσιμα σε πολιτικούς μηχανικούς. Επίλυση εργασιών κατ΄ οίκον (Προαιρετική ατομική εργασία).
Μέσα διδασκαλίας	Διαλέξεις σε αίθουσα ή Αμφιθέατρο με χρήση πίνακα.
Χρήση ΗΥ και προγραμμάτων	Οι φοιτητές καλούνται να υλοποιήσουν προαιρετικά αριθμητικές μεθόδους στον υπολογιστή.

Αξιολόγηση Επίδοσης

• Τελική γραπτή εξέταση: 70%
• Ενδιάμεση πρόοδος: 30%

Συγγράμματα - Βιβλιογραφία

1. Ακρίβης Γ.Δ., Δουγαλής Β.Α., Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση, Λεπτομέρειες
2. Μπακόπουλος A. και Χρυσοβέργης I., Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση, Εκδ. Συμεών, Αθήνα, 1999.
3. Παπαγεωργίου Γιώργος, Τσίτουρας Χαράλαμπος, Αριθμητική Ανάλυση με Εφαρμογές στο Mathematica και το Matlab, Εκδόσεις Τσότρας, Αθήνα 2015.
4. Bradie B., A Friendly Introduction to Numerical Analysis, Pearson Education International, 2006.
5. Burden R. and Faires D., Numerical Analysis, 9th Edition, Brooks/Cole, Cengage Learning, 2010.
6. Sauer T, Numerical Analysis, Pearson Addison Wesley, 2006.
7. Süli E. and Mayers D., An Introduction to Numerical Analysis, Cambridge University Press, 2003.

Διδασκαλία:

• Πέμπτη, 08:45 – 12:30,
  Αίθουσες:
  • ΖΑμφ. Αντ. Υλ. 201